Question

16．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）若关于x的方程k•f（x）=2^x在（0，1]上有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质：f（x）=-f（-x），列出方程求出a的值；
（2）先化简方程k•f（x）=2^x，令t=2^x由x∈（0，1]求出t的范围，分离出常数k并构造函数，判断出函数的单调性并求出函数的值域，即可求出k的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函数，
所以对定义域内的x，都有f（x）=-f（-x），即f（x）+f（-x）=0，…（2分）
即$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$+$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x+1}-a}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}+\frac{{1+2}^{x}}{{2-a•2}^{x}}$=$\frac{（2-a）（{2}^{x+1}+{2}^{2x}+1）}{{（2}^{x+1}-a）（2-a•{2}^{x}）}$=0，
因为2^x+1+2^2x+1≠0，所以a=2…（4分）
（2）方程k•f（x）=2^x可化为：k•$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-2}$=2^x，
化为：2•2^2x-（k+2）•2^x-k=0，
令t=2^x（x∈（0，1]），t∈（1，2]…（6分）
所以2t²-（k+2）t-k=0，则$k=\frac{2{t}^{2}-2t}{t+1}$，
设y=$\frac{2{（t+1）}^{2}-6（t+1）+4}{t+1}$=$2（t+1）+\frac{4}{t+1}-6$…（8分）
因为y=$2（t+1）+\frac{4}{t+1}-6$在（1，2]上单调递增，
所以y=$2（t+1）+\frac{4}{t+1}-6$的值域为$（0，\frac{4}{3}]$，…（11分）
故k的取值范围是：$（0，\frac{4}{3}]$…（13分）

点评 本题考查函数的奇偶性，函数的零点、方程的根与函数图象的交点之间的转化问题，以及数形结合思想，属于中档题．