Question

2．已知函数$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（{x∈R，ω＞0，A＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}}）$的最大值为2，最小正周期为π，直线x=$\frac{π}{6}$是其图象的一条对称轴．
（1）求f（x）的解析式； 
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（{x∈R，ω＞0，A＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}}）$的最大值为2，∴A=2；
根据最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，可得ω=2；
再根据直线x=$\frac{π}{6}$是其图象的一条对称轴，可得2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，故φ=$\frac{π}{6}$，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴f（x）∈[-1，2]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．