Question

定义在[1，4]上的函数f（x）=x²-2bx+5
（Ⅰ）b=2时，求函数的最值；
（Ⅱ）若函数f（x）是单调函数，求b的取值范围．
（III）若函数f（x）不是单调函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）b=2代入f（x），利用配方法求出f（x）的最值；
（Ⅱ）函数f（x）是单调函数要分两种情况：单调增或者单调减去，求出了函数f（x）的对称轴，利用对称轴的性质可以求出b的范围；
（III）由第二问求出了f（x）是单调函数b的范围，则剩下的就不是单调函数了，由此可求b的范围；

解答：解：（Ⅰ）b=2，时f（x）=x²-4x+5=（x-2）²+1
又x∈[1，4]，f（x）的对称轴为x=2，
所以f（x）max=f（4）=5，f（x）_min=f（2）=1，
（Ⅱ）当函数f（x）是单调函数时，有两种情况：
①f（x）在[1，4]上是增函数时，对称轴为x=b，
∴b≤1
②f（x）在[1，4]上是减函数时，对称轴为x=b，
∴b≥4，
∴函数f（x）是单调函数，b的取值范围是（-∞，1]∪[4，+∞）
（III）当函数f（x）在[1，4]上不是单调函数，对称轴为x=b，
∴1＜b＜4，
∴函数f（x）不是单调函数，b的取值范围为（1，4）；

点评：本题考查了函数的单调性的应用，两个函数的简单运算后判定单调性，此题函数f（x）比较简单，就不需要用导数来进行判断了；