精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=
x
ax+b
(a≠0)
满足f(2)=1,且方程f(x)=x有且仅有一个实数根.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)≠1,n∈N*.求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)定义min{a,b}=
a,a≤b
b,a>b
.对于(Ⅱ)中的数列{an},令bn=min{an
1
n
}
.设Sn为数列{bn}的前n项和,求证:Sn>ln(n+1).
分析:(Ⅰ)由题设条件知2a+b=2.当△=(b-1)2=0时,b=1,a=
1
2
f(x)=
2x
x+2
;当△=(b-1)2≠0时,a=1,f(x)=1(x≠0).
(Ⅱ)由题意知当f(x)=1时,an+1=1,不合题意,所以f(x)=
2x
x+2
an+1=
2an
an+2
,∴
1
an+1
=
1
an
+
1
2
,由此可得数列{an}的通项公式.
(Ⅲ)由题设条件知,an-
1
n
=
2
n+1
-
1
n
=
n-1
n(n+1)
≥0,n∈N*
,所以an
1
n
bn=min{an
1
n
}=
1
n
,再用分析法证明Sn>ln(n+1).
解答:解:(Ⅰ)由f(2)=
2
2a+b
=1
,得2a+b=2;
x
ax+b
=x
,有且仅有一个解,
即ax2+(b-1)x=0,有唯一解满足ax+b≠0.
∵a≠0,∴当△=(b-1)2=0时,b=1,x=0,则a=
1
2
,此时f(x)=
2x
x+2

又当△=(b-1)2≠0时,x1=-
b-1
a
≠0,x2=0
,因为ax1+b=1≠0,
所以ax2+b=b=0,则a=1,此时f(x)=
x
x
=1(x≠0)

综上所述,f(x)=
2x
x+2
,或者f(x)=1(x≠0);

(Ⅱ)a1=1,an+1=f(an)≠1,n∈N*,当f(x)=1时,an+1=1,不合题意,
f(x)=
2x
x+2
an+1=
2an
an+2

1
an+1
=
1
an
+
1
2

1
an
=1+
1
2
(n-1)
an=
2
n+1


(Ⅲ)由(Ⅱ)知,an-
1
n
=
2
n+1
-
1
n
=
n-1
n(n+1)
≥0,n∈N*

an
1
n
,则bn=min{an
1
n
}=
1
n
,所以Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n

设数列{cn}的前n项和为Tn=ln(n+1),则c1=T1=ln2<lne=1
当n≥2时,cn=Tn-Tn-1=ln(n+1)-lnn=ln
n+1
n
=ln(1+
1
n
)
,要证明ln(1+
1
n
)<
1
n
,n∈N*

1+
1
n
=t>1
,只要证明:lnt<t-1,其中t>1.
令g(x)=x-1-lnx(x≥1),则g′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
≥0
,所以g(x)在[1,+∞)上是增函数,
则当x>1时,g(x)>g(1)=0,即x-1>lnx(x>1),所以
1
n
cn=ln(1+
1
n
),n∈N*

Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
c1+c2+…+cn=Tn=ln(n+1)
点评:也可用数学归纳法证明,为此,先证明
1
n+1
>ln(1+
1
n+1
)
,即证:lnt<t-1,其中t>1.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在实数a,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2,若存在,请求出a的值,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型:022

已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.已知函数f(x)=x2,x∈[-1,4]为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,则k的值是_________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

已知函数f(x)、g(x),下列说法正确的是( )
A.f(x)是奇函数,g(x)是奇函数,则f(x)+g(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)是偶函数
C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)一定是奇函数或偶函数
D.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)可以是奇函数或偶函数

查看答案和解析>>

同步练习册答案