Question

【题目】设函数.

（1）当时，求函数的值域；

（2）若对任意，恒有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）若，则，根据和得到分段函数，进而可得的值域；

（2）对任意，恒有，即恒成立，，

则对任意，恒成立，构造函数和函数讨论即可.

（1）当时，，即

当时，，

此时，

当时，，

此时，

综上：的值域为.

（2）对任意，恒有，即恒成立，所以，

所以对任意，恒成立，

设，对任意，恒有，

因为开口向上，其对称轴为的二次函数，则在区间上单调递增，

所以，解得，

故对任意，恒有时的取值范围为

设，对任意，恒有，因为开口向上，其对称轴为的二次函数，

当，即时，在区间上单调递增，

所以，解得，所以，

当，即时，在区间上单调递减，

所以，解得，所以，

当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以 ，解得或（舍）

所以，故对任意，，时的取值范围为

综上对任意，恒有时，的取值范围为.