Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AD₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AD₁∥平面DBC₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AD₁与平面DBC₁内一直线平行，而BC₁∥AD₁，BC₁?平面DBC₁，AD₁?平面DBC₁，满足定理所需条件；
（Ⅱ）连接AC，由正方体的几何性质可得AC即为AE在底面ABCD上的射影，则∠EAC即为AE与平面ABCD所成角，在Rt△AEC中，求出此角的余弦值即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁
∴ABC₁D₁是平行四边形，则BC₁∥AD₁．
BC₁?平面DBC₁，AD₁?平面DBC₁，
∴AD₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）连接AC，由正方体的几何性质可得AC即为AE在底面ABCD上的射影，
则∠EAC即为AE与平面ABCD所成角
在Rt△AEC中，EC⊥AC，AC=

2

a，EC=

a

2

?AE=

3

2

a
则cos∠EAC=

AC

AE

=

2

3

2

所以AE与平面ABCD所成角的余弦值为

2

3

2

点评：本题主要考查了线面平行的判定，线面所成角的度量，同时考查了空间想象能力，运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．