Question

19．（1）若点P（-1，-1）的直线与两坐标轴分别相较于A，B两点，若P点为线段AB的中点，求该直线的方程和倾斜角；
（2）已知数列{a_n}为的等差数列，S_n为前n项和，且S₇=7，S₁₅=75．
①求S_n；
②T_n若为数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过设该直线l方程为：y+1=k（x+1），利用中点坐标公式计算即得结论；
（2）①通过设等差数列{a_n}的公差为d，利用S₇=7a₁+21d=7、S₁₅=15a₁+105d=75计算可知数列{a_n}是以-2为首项、1为公差的等差数列，进而可得结论；②通过①可知$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{2}$，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）设该直线l的斜率为k（k≠0），
∵直线l过点P（-1，-1），
∴直线l方程为：y+1=k（x+1），
易知A（0，k-1），B（$\frac{1}{k}$-1，0），
又∵P点为线段AB的中点，
∴$\frac{1}{k}$-1=-2，k-1=-2，
解得：k=-1，
∴该直线的方程为：x+y+2=0，
倾斜角为135°；
（2）①设等差数列{a_n}的公差为d，
则S₇=7a₁+21d=7，S₁₅=15a₁+105d=75，
解得：a₁=-2，d=1，
∴数列{a_n}是以-2为首项、1为公差的等差数列，
∴S_n=-2n+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{5}{2}$n；
②∵S_n=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{5}{2}$n，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1+2+…+n）-$\frac{5}{2}$n
=$\frac{1}{2}$•$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{5}{2}$n
=$\frac{{n}^{2}-9n}{4}$．

点评 本题考查直线的斜率与方程、考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．