Question

9．若y=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$的值域[-1，4]，求a，b的值．

Answer 1

分析 将原函数变成yx²-ax+y-b=0，可看成关于x的方程，方程有解，y≠0时便有，△≥0．从而可得到4y²-4by-a²≤0，而由题意知该不等式的解集为[-1，4]，从而-1，4便是方程4y²-4by-a²=0的两实根，而根据韦达定理即可求出a，b的值．

解答 解：由原函数得：yx²+y=ax+b，整理成：
yx²-ax+y-b=0，看成关于x的方程，方程有解；
y≠0时，需满足：△=a²-4y（y-b）≥0；
即4y²-4by-a²≤0；
显然y=0时，上面不等式也成立，根据原函数的值域为[-1，4]便知上面不等式的解集为[-1，4]；
∴-1，4是方程4y²-4by-a²=0的两实数；
根据韦达定理：$\left\{\begin{array}{l}{-1+4=b}\\{-1•4=-\frac{{a}^{2}}{4}}\end{array}\right.$；
解得a=±4，b=3．

点评 考查函数值域的概念，形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数值域的求解方法：整理成关于x的方程，方程有解，一元二次方程有解时判别式△的取值情况，以及韦达定理．