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(2007•湖北模拟)已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[0,1],g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].
(1)求f(x)的值域M;
(2)若a≥1,求g(x)的值域N;
(3)在(2)的条件下,若对于任意的x∈[0,1],总存在x0∈[0,1]使得f(x1)=g(x0),求a的取值范围.
分析:(1)求出函数f(x)d的对称轴,判断出函数f(x)的单调性,进一步求出f(x)的最值即值域.
(2)求出函数g(x)的导函数,判断出导函数的符号,得到函数g(x)的单调性,求出g(x)的值域;
(3)将已知条件对任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1]使f(x1)=g(x0)转化为两个函数值域的关系M⊆N,列出不等式求出a的范围.
解答:解:(1)∵f(x)=(x-1)2-4,x∈[0,1]
所以f(x)在[0,1]单调递减,
所以当x=0时函数最大为-3,当x=1时函数最小为-4
故f(x)值域为M=[-4,-3](4分)
(2)∵g′(x)=3x2-3a2=3(x2-a2
∵x∈[0,1]a≥1
∴x2-a2≤0即g′(x)≤0
∴g′(x)=x2-3a2x-2a在[0,1]上单调递减
故g(x)的值域为N=[1-2a-3a2,-2a](8分)
(3)∵对任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1]使f(x1)=g(x0
∴M⊆N
1-2a-3a2≤-4
-2a≥-3

a≥1或a≤-
5
3
a≤
3
2

又∵a≥1
a∈[1,
3
2
]
(13分)
点评:本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.
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