Question

13．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A的切线与CB的延长线交于点P，且$PA=8\sqrt{2}$，PB=8．
（1）若∠APB=45°求∠D的大小；
（2）若⊙O的半径为5，求圆心O到直线BC的距离．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得AB，可得∠ABC=90°，再利用圆的内接四边形的性质即可得出；
（2）连接OC，作OM⊥BC于M，由垂径定理可知：M为BC的中点，利用切割线定理与勾股定理即可得出．

解答 解：（1）在△PAB中，有$PA=8\sqrt{2}$，PB=8，∠APB=45°．
由余弦定理得：$A{B}^{2}={8}^{2}+（8\sqrt{2}）^{2}-2×8×8\sqrt{2}cos4{5}^{°}$=64，解得AB=8．
∴AB=PB，∠BAP=45°，
∴∠ABP=Rt∠．
所以△PAB为Rt△，即AB⊥PC．
所以∠ABC=90°，
又因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
所以∠D=90°．
（2）连接OC，作OM⊥BC于M，
由垂径定理可知：M为BC的中点，
由切割线定理得：PA²=PB•PC，
又$PA=8\sqrt{2}$，PB=8，
所以PC=16，BC=8，MC=4．
因为⊙O的半径为5，所以在Rt△OMT中有，OM=3，
所求圆心O到直线BC的距离为3．

点评 本题考查了余弦定理、圆的内接四边形的性质、垂径定理、切割线定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．