Question

【题目】已知椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列．

（Ⅰ）求椭圆C的方程．

（Ⅱ）试探究是否为定值？若是，求出这个值；否 则求出它的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）5．

【解析】

试题（Ⅰ）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，只需列出两个独立条件解方程组即可；（Ⅱ）研究解析几何中定值问题，一般利用坐标运算（即解析法）．先将条件、、构成等比数列转化为坐标：设，则=，再利用直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得，两者结合化简得：，，最后将也用坐标表示并代入化简为：=

=

试题解析：解：（Ⅰ）由题意可知且，a=2

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）设直线的方程为，

由

且

恰好构成等比数列．=

即

因为，

此时，即

故==

所以是定值为5．