Question

【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，，E，F分别为AB，CD的中点，，M为DF中点.现将四边形BEFC沿EF折起，使平面平面AEFD，得到如图所示的多面体.在图中，

（1）证明：；

（2）求二面角E-BC-M的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

1推导出，，折叠后，，，从而平面DCF，由此能证明；
2以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

(1)证明：由题意，在等腰梯形ABCD中，，

分别为AB，CD的中点，

，，

折叠后，，，

，

平面DCF，

又平面DCF，

；

(2)

平面平面AEFD，平面平面，且，
平面BEFC，

，

，CF，EF两两垂直，
以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

，

，
0，，2，，1，，
2，，1，，

设平面MBC的法向量y，，
则，取，得,

设平面EBC的法向量，

则

二面角的余弦值为．