Question

12．已知数列{x_n}，x₁=2，且2x_n+1+x_n•x_n+1-4x_n=3．
（1）设b_n=x_n-3，试用b_n表示b_n+1，并证明{$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{4}$}为等比数列；
（2）设数列{x_n}的前n项和为S_n，证明：3n-$\frac{5}{3}$＜S_n＜3n．

Answer 1

分析 （1）通过2x_n+1+x_n•x_n+1-4x_n=3可知x_n+1=$\frac{4{x}_{n}+3}{{x}_{n}+2}$，从而x_n+1-3=$\frac{{x}_{n}-3}{{x}_{n}+2}$，两边取倒数、整理可知$\frac{1}{{b}_{n+1}}$+$\frac{1}{4}$=5（$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{4}$），进而可知数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{4}$}是以-$\frac{3}{4}$为首项、5为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{4}$=-$\frac{3}{4}$•5^n-1，进而可知x_n=3-$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$，利用f（n）=$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$随着n的增大而减小，可知数列{$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$}的前n项和T_n＜$\frac{5}{3}$，进而可得结论．

解答 证明：（1）∵2x_n+1+x_n•x_n+1-4x_n=3，
∴x_n+1-3=$\frac{4{x}_{n}+3}{{x}_{n}+2}$-3=$\frac{{x}_{n}-3}{{x}_{n}+2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{n+1}-3}$=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}-3}$=1+$\frac{5}{{x}_{n}-3}$，
即$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=1+5$\frac{1}{{b}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$+$\frac{1}{4}$=5（$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{4}$），
又∵$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{x}_{1}-3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2-3}$+$\frac{1}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{4}$}是以-$\frac{3}{4}$为首项、5为公比的等比数列；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{4}$=-$\frac{3}{4}$•5^n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$\frac{3}{4}$•5^n-1-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$（1+3•5^n-1），
∴b_n=-$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$，
∴x_n=3+b_n=3-$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$，
∵f（n）=$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$随着n的增大而减小，
∴S_n＜3n，
又∵$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$＜$\frac{4}{3}$•5^1-n，
∴数列{$\frac{4}{1+3•{5}^{n-1}}$}的前n项和T_n＜$\frac{4}{3}$•$\frac{1-\frac{1}{{5}^{n}}}{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{4}{3}$•$\frac{5}{4}$（1-$\frac{1}{{5}^{n}}$）＜$\frac{5}{3}$，
∴3n-$\frac{5}{3}$＜S_n，
综上所述，3n-$\frac{5}{3}$＜S_n＜3n．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．