Question

17．已知函数f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的周期和单调区间；
（3）若关于x的不等式f（x）≥m²-m有解．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据cos2x≠0，求得函数的定义域为{x|x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z}，函数的定义域关于原点对称．再根据f（-x）=f（x），可得函数为奇函数．
（2）三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求出f（x）的周期和单调区间．
（3）求得函数f（x）的值域为[-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，2]，再结合关于x的不等式f（x）≥m²-m有解，可得 m²-m≤2，由此求得m的范围．

解答 解：（1）∵cos2x≠0，∴2x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，故函数的定义域为{x|x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z}，关于原点对称．
又函数f（-x）=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=$\frac{{6cos}^{4}（-x）+{5sin}^{2}（-x）-4}{cos（-2x）}$=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=f（x），
故函数f（x）为偶函数．
（2）∵f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=$\frac{{6cos}^{4}x+5（1{-cos}^{2}x）-4}{cos2x}$=$\frac{（{2cos}^{2}x-1）（{3cos}^{2}x-1）}{cos2x}$=3cos²x-1
=3•$\frac{1+cos2x}{2}$-1=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，可得它的减区间为[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z；
令2kπ-π≤2x≤2kπ，求得kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤kπ，可得它的增区间为[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ]，k∈Z．
（3）根据f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x+5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$，可得cos2x≠0，故f（x）=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$≠$\frac{1}{2}$，
故函数f（x）的值域为[-1，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，2]．
关于x的不等式f（x）≥m²-m有解，∴m²-m≤2，求得-1≤m≤2．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，求三角函数式的值域，属于中档题．