Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=3，f′（x）-1＜0，则不等式f（x²）＜x²+1的解集为

 

．

Answer 1

分析：根据f（x）在R上的导数满足f′（x）＜1，当f′（x）＜0时得到函数f（x）单调递减，当x²＜2时，得到f（x²）＞f（2）=3，即x²+1＞3，解得x²＞2，矛盾；当0＜f′（x）＜1时得到函数f（x）单调递增，当x²＞2时，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，求出解集即可．

解答：解：根据f（x）在R上的导数满足f^/（x）-1＜0即f′（x）＜1，讨论导函数的正负得到函数的单调区间为：
①当f′（x）＜0时得到函数f（x）单调递减，
即当x²＜2时，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，矛盾；
②当0＜f′（x）＜1时得到函数f（x）单调递增，
即当x²＞2时，得到f（x²）＞f（2）=3即x²+1＞3，解得x²＞2，所以x＞

2

或x＜-

2

综上，不等式f（x²）＜x²+1的解集为{x|x＞

2

或x＜-

2

}
故答案为{x|x＞

2

或x＜-

2

}

点评：此题是个中档题．考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会利用函数的单调性解决实际问题的能力．