Question

11．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax²-2bx-a+b的定义域为[0，1]
（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；
（Ⅱ） 记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令f（x）=0，则x=$\frac{1}{2}$，或x=$\frac{-1+b}{2}$，结合题意可得b的取值范围；
（Ⅱ）求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明f（x）+M＞0

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=4x²-2bx-1+b，
令f（x）=0，则x=$\frac{1}{2}$，或x=$\frac{-1+b}{2}$，
若函数f（x）在定义域[0，1]内有两个不同的零点，
则$\frac{-1+b}{2}$∈[0，1]，且$\frac{-1+b}{2}$$≠\frac{1}{2}$，
解得：b∈[1，2）∪（2，3]
证明：（Ⅱ） 要证明：f（x）+M＞0，
即证明：f（x）_max+f（x）_min＞0
∵函数f（x）=4ax²-2bx-a+b的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{b}{4a}$为对称轴的抛物线，
①$\frac{b}{4a}$＜0，或$\frac{b}{4a}$＞1时，f（x）_max+f（x）_min=f（0）+f（1）=-a+b+3a-b=2a＞0；
②0≤$\frac{b}{4a}$＜$\frac{1}{2}$，即0≤b＜2a时，f（x）_max+f（x）_min=f（$\frac{b}{4a}$）+f（1）=-a+b-$\frac{{b}^{2}}{4a}$+3a-b=2a-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=$\frac{8{a}^{2}-{b}^{2}}{4a}$＞$\frac{4{a}^{2}}{4a}$=a＞0；
③$\frac{1}{2}$≤$\frac{b}{4a}$≤1，即2a≤b≤4a时，f（x）_max+f（x）_min=f（$\frac{b}{4a}$）+f（0）=-a+b-$\frac{{b}^{2}}{4a}$-a+b=2b-2a-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=$\frac{8ab-8{a}^{2}-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-（{b-4a）}^{2}+8{a}^{2}}{4a}$≥$\frac{4{a}^{2}}{4a}$=a＞0；
综上可得：f（x）_max+f（x）_min＞0恒成立，即f（x）+M＞0

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．