【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,点
为坐标原点,若椭圆
与曲线
的交点分别为
(
下
上),且
两点满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于其顶点的任一点
,作
的两条切线,切点分别为
,且直线
在
轴、
轴上的截距分别为
,证明:
为定值.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
试题分析:(1)设,然后根据向量数量积求得
的值,再结合离心率求得
的值,由此求得椭圆方程;(2).设点
,然后根据条件求得
的方程,从而求得直线
在
轴、
轴上的截距为
,进而使问题得证.
试题解析:(1)设椭圆的半焦距为
,设
,则
,
由,得
,∴
,①
又椭圆的离心率为
,所以
,②
又,③
由①②③,解得,
故椭圆的标准方程为
................................... 6分
(2)如图,设点,由
是
的切点知,
,
所以四点在同一圆上,且圆的直径为
,
则圆心为,其方程为
,
即,④
即点满足话中④,又点
都在
上,
所以坐标也满足方程
,⑤
⑤-④得直线的方程为
,
令,得
;令
,得
,所以
,
又点在椭圆
上,所以
,即
中,
即,即
为定值.........................12分
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【题目】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是.
(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为,求
的分布列及
.( 结果用分数表示)
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【题目】设椭圆的左、右焦点分别为
,右顶点为
,上顶点为
,已知
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段
为直径的圆经过点
,经过原点
的直线
与该圆相切,求直线
的斜率.
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【题目】某科研机构研发了某种高新科技产品,现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元,从实验的第一天起连续实验,第天的实验需投入实验费用为
元
,实验30天共投入实验费用17700元.
(1)求的值及平均每天耗资最少时实验的天数;
(2)现有某知名企业对该项实验进行赞助,实验天共赞助
元
.为了保证产品质量,至少需进行50天实验,若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验,求
的取值范围.(实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费)
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【题目】记表示
中的最大值,如
,已知函数
.
(1)求函数在
上的值域;
(2)试探讨是否存在实数, 使得
对
恒成立?若存在,求
的取值范围;
若不存在,说明理由.
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