【题目】已知函数.
(1)若曲线在
和
处的切线互相平行,求
的值;
(2)求的单调区间;
(3)设,若对任意
,均存在
,使得
,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)详见解析(3)
【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义得列等量关系
,解得
;(2)先研究函数零点:
;当
时,一个零点
;当
时,两个零点,此时再比较两个零点大小,需分三种情况讨论:最后列表分析导函数符号变化规律,确定函数单调区间;(3)任意存在性问题,一般先转化为对应函数最值问题:
,易确定
的最大值为
,此时可继续分类讨论求
的最大值,也可以再利用变量分离转化为对应函数最值:
的最大值.
试题解析:(1)由题意知, ,即
,解得
.
(2).①当
时,
,在区间
上,
;在区间
上,
,故
的单调递增区间是
,单调递减区间是
.②当
时,在区间
和
上,
;在区间
上,
,故
的单调递增区间是
和
,单调递减区间是
.③当
时,
,故
的单调递增区间是
.④当
时,
,在区间
和
上,
;在区间
上,
,故
的单调递增区间是
和
,单调递减区间是
.
(3)由题意知,在上有
,由已知得,
,由(2)可知,①当
时,
在
上单调递增,故
,所以
,解得
,故
.②当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,故
,由
可知
,即
,
综上所述, .
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【题目】设椭圆(
)的右焦点为
,右顶点为
,已知
,其中
为坐标原点,
为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线
与椭圆交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
,若
,且
,求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆
的参数方程为
为参数),在以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求圆的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)设直线与
轴,
轴分别交于
两点,点
是圆
上任一点,求
两点的极坐标和
面积的最小值.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,
点的极坐标为
,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)写出点的直角坐标及曲线
的直角坐标方程;
(2)若为曲线
上的动点,求
中点
到直线
的距离的最小值.
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【题目】已知数列{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}是b1=1的等比数列,且.
(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令cn= an bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,点
为坐标原点,若椭圆
与曲线
的交点分别为
(
下
上),且
两点满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于其顶点的任一点
,作
的两条切线,切点分别为
,且直线
在
轴、
轴上的截距分别为
,证明:
为定值.
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