Question

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，已知．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）设椭圆右焦点的坐标为，由，可得，又，即可求解椭圆的离心率；（2）由（1）知，得到椭圆的方程为，设出点，可得，进而得到，由于点在椭圆上，联立得到，解得，利用中点公式和两点间的距离公式，利用直线与圆相切的性质即可得出结论．

试题解析：（1）设椭圆右焦点的坐标为，由，可得．

又，则，所以椭圆的离心率．

（2）由（1）知，故椭圆的方程为，

设，由，有，

由已知，有，即，又，故有． ①

又因为点在椭圆上，所以．②

由 ①和②可得，而点不是椭圆的顶点，故，

代人①得，即点的坐标为，设圆的圆心为，

则，进而圆的半径，

设直线的斜率为，依题意，直线的方程．由与圆相切，可得，

即，整理得，解得，

所以直线的斜率为或．