Question

【题目】如图，在空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，，点在平面上的射影在的平分线上，已知和平面所成角为.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：（1）取中点，连接，先证明，再证明平面. （2）由已知，两两互相垂直，故以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.

详解：（1）证明：由题意知，与都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，.

又∵平面平面，平面，作平面，

那么，根据题意，点落在上，

∵和平面所成角为，∴.

∵，∴，

∴四边形是平行四边形，∴，∴平面，平面，

∴平面.

（2）由已知，两两互相垂直，故以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，.

∴，，设平面的一个法向量为.

∵，∴.令，∴取，

又∵平面的一个法向量，∴.

又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴ 二面角的余弦值为.