【题目】已知椭圆的离心率为
,
,
分别是其左、右焦点,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若在直线上任取一点
,从点
向
的外接圆引一条切线,切点为
.问是否存在点
,恒有
?请说明理由.
【答案】(1) (2)
,或
【解析】
(1)求出后可得椭圆的标准方程.
(2)先求出的外接圆的方程,设
点为
点为
,则由
可得
对任意的
恒成立,故可得关于
的方程,从而求得
的坐标.
解:(1)因为椭圆的离心率为
,所以
. ①
又椭圆过点
,所以代入得
. ②
又. ③
由①②③,解得.所以椭圆
的标准方程为
.
(2)由(1)得,,
的坐标分别是
.
因为的外接圆的圆心一定在边
的垂直平分线上,
即的外接圆的圆心一定在
轴上,
所以可设的外接圆的圆心为
,半径为
,圆心
的坐标为
,
则由及两点间的距离公式,得
,
解得.
所以圆心的坐标为
,半径
,
所以的外接圆的方程为
,即
.
设点为
点为
,因为
,
所以,
化简,得,
所以,消去
,得
,
解得或
.
当时,
;
当时,
.
所以存在点,或
满足条件.
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【题目】(2016高考新课标II,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
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【题目】新个税法于2019年1月1日进行实施.为了调查国企员工对新个税法的满意程度,研究人员在地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中
.
(1)求的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数;(计算结果保留两位小数)
(2)若按照分层抽样从,
中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在
的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),圆
的方程为
.以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线及圆
的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线与圆
交于
两点,求
的值.
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【题目】如图,正三棱柱的各条棱长均相等,
为
的中点,
分别是线段
和线段
上的动点(含端点),且满足
.当
运动时,下列结论中不正确的是( )
A. 平面平面
B. 三棱锥
的体积为定值
C. 可能为直角三角形 D. 平面
与平面
所成的锐二面角范围为
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
也为抛物线
的焦点,点
为
在第一象限的交点,且
.
(I)求椭圆的方程;
(II)延长,交椭圆
于点
,交抛物线
于点
,求三角形
的面积.
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