Question

已知函数f（x）=log_a（x-3a） （a＞0且a≠1）的图象为c₁，将c₁向左平移2a个单位得图象c₂，函数g（x）的图象c₃与c₂关于x轴对称．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）当0＜a＜1时，解关于x的不等式2f（x）+g（x）＞1；
（3）若对x∈[a+2，a+3]总有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的是函数的图象与图象变化问题．在解答时，
对（1）通过先平移再关于x轴对称即可获得问题的解答；
对（2）将函数f（x）和g（x）的解析式代入不等式化简即可获得有关x的对数不等式，注意真数大于零即可获得问题的解答；
对（3）结合函数f（x）和g（x）的解析式先将抽象的恒成立问题转化为二次不等式的恒成立问题，即可获得问题的解答．

解答：解：（1）由题意可知：图象c₂对应的函数解析式为：y=log_a^（x-a），∴图象c₃对应的函数解析式为：g（x）=-log_a（x-a）．
∴函数g（x）的解析式为g（x）=-log_a（x-a）．
（2）由题意：2f（x）+g（x）＞1?2loga(x-3a)＞1+loga(x-a)?

x-3a＞0 (x-3a)2＜a(x-a)

∴不等式的解集为：{x|3a＜x＜5a}．
（3）由|f（x）-g（x）|≤1在x∈[a+2，a+3]上恒成立
可得：（a+2）-3a＞0?0＜a＜1
|loga(x-3a)+loga(x-a)|≤1?a≤(x-3a)(x-a)≤

1

a

对x∈[a+2，a+3]恒成立．
令h（x）=（x-3a）（x-a）=x²-4ax+3a²，其对称轴x=2a∉[a+2，a+3]，
故h（x）=x²-4ax+3a²在x∈[a+2，a+3]上单调递增，
∴h（x）∈[h（a+2），h（a+3）]
∴h（x）∈[4（1-a），3（3-2a）]
∴

3(3-2a)≤ 1 a 4(1-a)≥a

，∴a∈(0，

9- 57

12

]
∴a的取值范围是(0，

9- 57

12

]．

点评：本题考查的是函数的图象与图象变化问题．在解答的过程当中充分体现了变换的思想、恒成立的思想、数形结合的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．