Question

正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为

15

，求这个正三棱锥的体积和侧面积．

Answer 1

分析：在正三棱锥S-ABC中，设H为ABC的中心，连接SH，则SH为该正三棱锥的高，求出AE，AH，再求出SH，代入体积公式计算可得棱锥的体积；求出正三棱锥的高HE，利用勾股定理求得SH，代入侧面积公式可求得棱锥的侧面积．

解答：解：如图，在正三棱锥S-ABC中，设H为ABC的中心，连接SH，
则SH为该正三棱锥的高．连接AH，延长后交BC于E，
则E为BC的中点，且AH⊥BC．
由于△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE=

3

2

×6=3

3

．
∴AH=

2

3

AE=2

3

．
在Rt△SHA中，SA=

15

，AH=2

3

．
∴SH=

SA2-AH2

=

15-12

=

3

．
S△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

×6×3

3

=9

3

．
∴VS-ABC=

1

3

×9

3

×

3

=9．
在正三棱锥S-ABC中，设H为ABC的中心，连接SH，则SH为该
正三棱锥的高，HE=

1

3

AE=

3

．
在Rt△SHE中，SE=

SH2+HE2

=

3+3

=

6

．S△SBC=

1

2

BC•SE=

1

2

×6×

6

=3

6

，
∴S_侧=3S_△SBC=9

6

．

点评：本题考查了棱锥的侧面积与体积，考查了学生的运算能力，解题的关键是利用位置关系求得相关的几何量．