Question

6．已知数列{a_n}满足a₂=1，a_n+1•a_n=3ⁿ，则使a_n＜3²⁰¹⁴的最大整数n为4028．

Answer 1

分析 a_n+1•a_n=3ⁿ，a₂=1，可得a₁=3，$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=3，于是数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3．可得a_2k=3^k-1，a_2k-1=3^k．k∈N^*．即可得出．

解答 解：∵a_n+1•a_n=3ⁿ，a₂=1，
∴a₁=3，a_n+2•a_n+1=3ⁿ⁺¹．
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=3，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3．
a_2k=3^k-1，a_2k-1=3^k．k∈N^*．
则使a_n＜3²⁰¹⁴的最大整数n为2×2014=4028．
故答案为：4028．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．