Question

11．在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{7}{13}$，求下列各式的值：
（1）tanA；
（2）2sinAcosA-cos²A．

Answer 1

分析 （1）把已知两边平方求得sinAcosA，进一步求得sinA-cosA，可得tanA；
（2）由同角三角函数的基本关系式把2sinAcosA-cos²A转化为正切求解．

解答 解：（1）∵sinA+cosA=$\frac{7}{13}$，①
∴（sinA+cosA）²=1+2sinAcosA=$\frac{49}{169}$，
则2sinAcosA=-$\frac{120}{169}$．
则（sinA-cosA）²=1-2sinAcosA=$\frac{289}{169}$．
在△ABC中，2sinA•cosA＜0，则sinA＞0，cosA＜0．
∴sinA-cosA=$\frac{17}{13}$，②
由①②联立，得sinA=$\frac{12}{13}$，cosA=-$\frac{5}{13}$．
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=-$\frac{12}{5}$；
（2）2sinAcosA-cos²A=$\frac{2sinAcosA-co{s}^{2}A}{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}$
=$\frac{2tanA-1}{ta{n}^{2}A+1}$=-$\frac{145}{169}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．