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若定义在R上的函数对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1,若f(4)=5,则不等式f(3m-2)<3的解集为______.
由题意,可得
令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1,可得f(0)=1,
令x1=-x,x2=x,则f[(-x)+x]=f(-x)+f(x)-1=1,
∴化简得:[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0,
∴记F(x)=f(x)-1,可得F(-x)=-F(x),即F(x)为奇函数.
任取x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>0,
F(x1)-F(x2)=F(x1)+F(-x2)=[f(x1)-1]+[f(-x2)-1]
=[f(x1)+f(-x2)-2]=[f(x1-x2)-1]=F(x1-x2
∵当x>0时f(x)>1,可得x>0时,F(x)=f(x)-1>0,
∴由x1-x2>0,得F(x1-x2)>0,即F(x1)>F(x2).
∴F(x)=f(x)-1是R上的增函数,因此函数y=f(x)也是R上的增函数.
∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,且f(4)=5,
∴f(4)=f(2)+f(2)-1=5,可得f(2)=3.
因此,不等式f(3m-2)<3化为f(3m-2)<f(2),
可得3m-2<2,解之得m
4
3
,即原不等式的解集为(-∞,
4
3
).
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分12分)某电信部门执行的新的电话收费标准中,其中本地网营业区内的通话费标准:前3分钟为0.20元(不足3分钟按3分钟计算),以后的每分钟收0.10元(不足1分钟按1分钟计算。)在一次实习作业中,某同学调查了ABCDE五人某天拨打的本地网营业区内的电话通话时间情况,其原始数据如下表所示:
 
A
B
C
D
E
第一次通话时间
3分
3分45秒
3分55秒
3分20秒
6分
第二次通话时间
0分
4分
3分40秒
4分50秒
0分
第三次通话时间
0分
0分
5分
2分
0分
应缴话费(元)
 
 
 
 
 
⑴在上表中填写出各人应缴的话费;
⑵设通话时间为t分钟,试根据上表完成下表的填写(即这五人在这一天内的通话情况统计表):
时间段
频数累计
频数
频率
累计频率
0<t≤3

2
0.2
0.2
3<t≤4
 
 
 
 
4<t≤5
 
 
 
 
5<t≤6
 
 
 
 
合计
正正
 
 
 
⑶若该本地网营业区原来执行的电话收费标准是:每3分钟为0.20元(不足3分钟按3分钟计算)。问这五人这天的实际平均通话费与原通话标准下算出的平均通话费相比,是增多了还是减少了?增或减了多少?

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

具有性质“对任意x,y∈R,满足f(x+y)=f(x)+f(y)”的函数f(x)是(  )
A.f(x)=πxB.f(x)=log0.6xC.f(x)=5xD.f(x)=cosx

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f(1)=-2.
(1)求f(0);
(2)证明f(x)是奇函数;
(3)试问在x∈[-3,3]时f(x)是否有最大、最小值?如果有,请求出来,如果没有,说明理由;
(4)解不等式
1
2
f(x2)-f(x)>
1
2
f(3x)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.
(1)用分段函数的形式表示该函数;
(2)在右边所给的坐标第中画出该函数的图象;
(3)写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间(不要求证明).

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,且满足f(xy)=f(x)+f(y).
(1)证明:f(
x
y
)=f(x)-f(y)

(2)已知f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知定义域是(0,+∞)的函数f(x)满足;
(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(3x)=3f(x)成立;
(2)当x∈(1,3]时,f(x)=3-x.给出下列结论:
①对任意m∈Z,有f(3m)=0;
②函数f(x)的值域为[0,+∞);
③存在n∈Z,使得f(3n+1)=0;
④“函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“?k∈Z,使得(a,b)⊆(3k,3k+1).”
其中正确结论的序号是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

(  )
A.>0B.>-3C.<1D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在边长为2的等边中,的中点,为线段上一动点,则的取值范
围是(  )
A.B.C.D.

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