Question

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，且满足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）证明：f(

x

y

)=f(x)-f(y)；
（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴f(

x

y

)+f(y)=f(

x

y

×y)=f(x)
因此，满足 f(

x

y

)=f(x)-f(y)，
（2）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f（a）＞f（a-1）+2，?

a-1＞0 a＞0 f[(a-1)•9]＜f(a)

?

a＞1 (a-1)•9＜a

?1＜a＜

9

8

，
故a的取值范围（1，

9

8

）