Question

5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（-$\frac{3}{2}+x$）=f（$\frac{3}{2}+x$），当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=ln（x²-x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是9．

Answer 1

分析 可判断f（x）是周期为3的函数，再由函数的奇偶性可得f（0）=f（3）=f（6）=f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{9}{2}$）=f（1）=f（4）=f（2）=f（5）=0；从而解得．

解答 解：∵f（-$\frac{3}{2}+x$）=f（$\frac{3}{2}+x$），
∴f（x）是周期为3的函数，且f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，f（-$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$）；
∴f（0）=f（3）=f（6）=0，f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{9}{2}$）=0；
当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，令f（x）=ln（x²-x+1）=0得，
x=1；
故f（1）=f（4）=0，f（-1）=f（2）=f（5）=0；
故函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是9，
故答案为：9．

点评 本题考查了抽象函数的性质的判断与应用．