Question

9．已知函数f（x）=2lnx-ax²+1
（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（2）存在实数m使得f（x）=m的两个零点α、β都属于区间[1，4]，且β-α=1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，利用函数的单调性，结合f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（2）利用β-α=1，即 2lnα-2lnβ+α（α+β）=0，可得2lnα-2ln（α+1）+α（2α+1）=0，α∈[1，3]，设h（x）=2lnx-2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]，确定h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2-2a{x}^{2}}{x}$（x＞0）
当a≤0 时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个零点．
当a＞0时，由f′（x）＞0 得$0＜x＜\frac{1}{\sqrt{a}}$则f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{a}}$）单调递增；
 由f′（x）＜0得x$＞\frac{1}{\sqrt{a}}$在（$\frac{1}{\sqrt{a}}，+∞$）单调递减．
∴f（x） 在x=$\frac{1}{\sqrt{a}}$ 有最大值，f（x）有两个零点只需f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）＞0得
f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=2ln（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）-a$（\frac{1}{\sqrt{a}}）^{2}$+1=2ln（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）＞0 解得 0＜a＜1．
综上可得a∈（0，1）．…6分
（2）由（1）知当a≤0时，f（x）在[1，4]上递增，不合题意，故a＞0；
由题设f（α）=f（β） 则2lnα-αx²+1=2lnβ-αβ²+1
考虑到β-α=1，即 2lnα-2lnβ+α（α+β）=0                    
∴2lnα-2ln（α+1）+α（2α+1）=0，α∈[1，3]
设h（x）=2lnx-2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]
则h'（x）=$\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}+2a＞0$ 在（1，3）上恒成立，
∴h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，则
$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≤0}\\{h（3）≥0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2ln2+3a≤0}\\{2ln3-2ln4+7a≥0}\end{array}\right.$，∴$\frac{2}{7}ln\frac{4}{3}≤a≤\frac{2}{3}ln2$
故实数a的取值范围是[$\frac{2}{7}$ln$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$ln2]…12分．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．