Question

（本小题满分12分）

某学校举行“科普与环保知识竞赛”，并从中抽取了部分学生的成绩（均为整数），所得数据的分布直方图如图.已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分别是0.175和0.075，第2小组的频数为10.

（Ⅰ）求所抽取学生的总人数，并估计这次竞赛的优秀率（分数大于80分）；

（Ⅱ）从成绩落在（50.5,60.5）和（90.5,100.5）的学生中任选两人，求他们的成绩在同一组的概率.

Answer 1

解：（Ⅰ）设第一小组的频率为x，则      x+2x+3x+0.175+0.075=1，解得x=0.125.

第二小组的频数为10，得抽取顾客的总人数为=40人. …………………3分

依题意，分数大于80分的学生所在的第四、第五小组的频率和为

       0.175+0.075=0.25，所以估计本次竞赛的优秀率为25%.   ………………………6分

（Ⅱ）落在（50.5，60.5）和（90.5，100.5）的学生数分别为0.125×40=5；0.075×40=3.

…………………………………7分

落在（50.5，60.5）的学生设为：A_i（i=1，2，3，4，5）；落在（90.5，100.5）的学生设为：

B_j（j=1，2，3），则从这8人中任取两人的基本事件为：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，B₃），（A₄，B₁）,（A₄，B₂）,（A₄，B₃）, （A₅，B₁）, （A₅，B₂）, （A₅，B₃）,

（A₁，A₂）, （A₁，A₃）, （A₂，A₃）,

（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₁，B₄），（B₁，B₅），（B₂，B₃），（B₂，B₄），（B₂，B₅），（B₃，B₄）,（B₃，B₅）, （B₄，B₅）,共28个基本事件；……………………………………………………………………10分

其中“成绩落在同一组”包括（A₁，A₂）, （A₁，A₃）, （A₂，A₃）,

（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₁，B₄），（B₁，B₅），（B₂，B₃），（B₂，B₄），（B₂，B₅），（B₃，B₄）,（B₃，B₅）,

（B₄，B₅）,共包含13个基本事件，故所求概率为.    ……………………………………12分