Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…
（1）若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为等差数列．

Answer 1

解：（1）当n≥2时，有
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1（4分）
=1+．（6分）
又因为a₁=1也满足上式，所以数列{a_n}的通项为．（7分）
（2）由题设知：b_n＞0，对任意的n∈N⁺有
b_n+2b_n=b_n+1，b_n+1b_n+3=b_n+2得b_n+3b_n=1，
于是又b_n+3b_n+6=1，故b_n+6=b_n（9分）
∴b_6n-5=b₁=1，b_6n-4=b₂=2，
b_6n-3=b₃=2，b_6n-2=b₄=1，
，
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=b_6n-1+b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4
=1+2+2+1++=7（n≥1），
所以数列{c_n}为等差数列．（16分）
分析：（1）a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=1+．由此能求出数列{a_n}的通项．
（2）由题设知：b_n＞0，对任意的n∈N⁺有b_n+2b_n=b_n+1，b_n+1b_n+3=b_n+2得b_n+3b_n=1，于是又b_n+3b_n+6=1，故b_n+6=b_n，b_6n-5=b₁=1，b_6n-4=b₂=2，由此能够证明数列{c_n}为等差数列．
点评：第（1）题考查数列的通项公式，解题时要注意累加法的合理运用，第（2）题考查等差数列的证明，解题时要注意合理地进行等价转化．