Question

如图，在平行四边形ABCD，

AD

=a，

AB

=b，M为AB的中点，点N在DB上，且

DN

=t

NB

．
（1）当t=2时，证明：M、N、C三点共线；
（2）若M、N、C三点共线，求实数t的值．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是向量共线定理，由在平行四边形ABCD，

AD

=a，

AB

=b，M为AB的中点，点N在DB上，且

DN

=t

NB

．
（1）当t=2时，

DN

=2

NB

，由M为AB中点，我们易得：

NC

=2

MN

，又由

NC

与

MN

有公共点N，故M，N，C三点共线；
（2）若M、N、C三点共线，得

NC

=λ

MN

（λ＞0），根据ABCD为平行四边形，且M为AB的中点，我们易得到一个关于λ、t的方程，解方程后，即可求出满足条件的t值．

解答：证明：（1）当t=2时，

DN

=2

NB

，
有

NB

=

1

3

DB

=

1

3

(

AB

-

AD

)=

1

3

(b-a)，
又

MN

+

NB

=

MB

，
∴

MN

=

MB

-

NB

=

1

2

b-

1

3

(b-a)=

1

6

b+

1

3

a；

NC

=

DC

-

DN

=

AB

-2

NB

=b-

2

3

(b-a)=

1

3

b+

2

3

a，
则

NC

=2

MN

，

NC

与

MN

有公共点N，
于是M、N、C三点共线；
解：（2）由

DN

=t

NB

，
得

DN

=

t

t+1

DB

=

t

t+1

(b-a)，

NB

=

1

t+1

DB

=

1

t+1

(b-a)，

NC

=

DC

-

DN

=b-

t

t+1

(b-a)=

1

t+1

b+

t

t+1

a，

MN

=

MB

-

NB

=

1

2

b-

1

t+1

(b-a)=

t-1

2(t+1)

b+

1

t+1

a，
由M、N、C三点共线，得

NC

=λ

MN

，
∴

1

t+1

b+

t

t+1

a=

λ(t-1)

2(t+1)

b+

λ

t+1

a，
得

1

t+1

=

λ(t-1)

2(t+1)

，且

t

t+1

=

λ

t+1

，
解得t=2或t=-1（舍去）；
∴t=2．

点评：若A、B、P三点共线，O为直线外一点，则

OP

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1，反之也成立，这是三点共线在向量中最常用的证明方法和性质，大家一定要熟练掌握．