Question

9．（普通班）已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=n²+2n（n∈N⁺），
∴当n=1时，a₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
又n=1时满足上式，
∴a_n=2n+1．
（Ⅱ）∵$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{n}{3（2n+3）}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．