Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC上一点，且PA//平面BDM，

   （1）求证：M为PC的中点；

   （2）求证：面ADM⊥面PBC。

Answer 1

(Ⅰ) 见解析   (Ⅱ) 见解析 

解析:

（1）：连接AC，AC与BD交于G，则面PAC∩面BDM=MG，

由PA//平面BDM，可得PA//MG……3分∵底面ABCD为菱形，∴G为AC的中点，

∴MG为△PAC的中位线。因此M为PC的中点。……5分

   （2）取AD中点O，连结PO，BO。∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，

又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以，PO⊥平面ABCD，…7分

∵底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，△ABD是正三角形，

∴AD⊥OB。∴OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系…7分

………………9分

……11分∴DM⊥平面PBC，又DM平面ADM，

∴ADM⊥面PBC  …12分

注：其他方法参照给分。