Question

3．一个三角形三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形的周长等于15．

Answer 1

分析 设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由正弦定理求得cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，求得n=5，从而得出结论．

解答 解：设三边长分别为n-1，n，n+1，对应的角为A，B，C，
 由题意知C=2A，
由正弦定理得$\frac{n-1}{sinA}=\frac{n+1}{sinC}$=$\frac{n+1}{2sinAcosA}$
即有cosA=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
又cosA=$\frac{{n}^{2}+（n+1）^{2}-（n-1）^{2}}{2n（n+1）}$=$\frac{n+4}{2（n+1）}$
所以$\frac{n+1}{2（n-1）}$=$\frac{n+4}{2（n+1）}$，
化简为n²-5n=0，解得n=5，
所以三边分别为4，5，6，其周长=4+5+6=15．
故答案为：15．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，求得n²-5n=0，是解题的难点，属于中档题．