Question

12．解不等式：9^x+6^x＞2×4^x．

Answer 1

分析 不等式两边同时除以9^x，利用换元法转化为一元二次不等式进行求解即可．

解答 解：不等式两边同时除以9^x，
得1+$（\frac{6}{9}）^{x}$＞2×$（\frac{4}{9}）^{x}$，
即1+（$\frac{2}{3}$）^x＞2[（$\frac{2}{3}$）^x]²，
即2[（$\frac{2}{3}$）^x]²-（$\frac{2}{3}$）^x-1＜0，
设t=（$\frac{2}{3}$）^x，则t＞0
则不等式等价为2t²-t-1＜0，
解得（t-1）（2t+1）＜0，
即$-\frac{1}{2}$＜t＜1，
∵t＞0，
∴0＜t＜1，
即0＜（$\frac{2}{3}$）^x＜1，
解得x＞0，
即不等式的解集为（0，+∞）．

点评 本题主要考查不等式的求解，利用换元法结合指数不等式的性质是解决本题的关键．