Question

2．已知定义在R上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x²-x，且对任意的x满足f（x-1）=af（x），a为常数且a≠0，则（　　）

• A． f（6）＜f（6.5）
• B． f（6.5）＜f（6）
• C． f（6）＜f（7）
• D． f（7）＜f（6）

Answer 1

分析 根据函数的递推关系，求出函数在[6，7]上的单调性，结合一元二次函数的性质进行判断即可．

解答 解：∵对任意的x满足f（x-1）=af（x），a为常数且a≠0，
∴f（x）=$\frac{f（x-1）}{a}$，
若x∈[6，7]，
则x-6∈[0，1]，
则f（x）=$\frac{f（x-1）}{a}$=$\frac{f（x-2）}{{a}^{2}}=\frac{f（x-3）}{{a}^{3}}=…$=$\frac{f（x-6）}{{a}^{6}}$，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x²-x，
∴f（x）=$\frac{f（x-6）}{{a}^{6}}$=$\frac{（x-6）^{2}-（x-6）}{{a}^{6}}$=$\frac{1}{{a}^{6}}$（x²-13x+42），
则函数的对称轴为x=$\frac{13}{2}$，抛物线开口向上，
则函数在[6，6.5]上单调递减，在[6，5，7]上单调递增，
则f（6.5）＜f（6），f（6）=f（7），
故选：B．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据抽象函数的关系求出函数在[6，7]上的单调性是解决本题的关键．