Question

13．已知点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≤1}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$，目标函数z=x+ay（a＜0）的最大值与最小值之和为0，则a的值为（　　）

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． -2
• C． -1
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．

解答 解：作出不等式对应的平面区域，
其中A（1，1），B（1，0），C（2，1），
由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
∵a＜0，∴目标函数的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
①若k=-$\frac{1}{a}$=1，即a=-1时，当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z经过A时，截距最小z_min=1+a=1-1=0，
当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z经过B时，截距最大z_max=1，
此时z_max+z_min=1+0=1，不满足条件．
②若k=-$\frac{1}{a}$＞1，即-1＜a＜0时，当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z经过A时，截距最小z_min=1+a，
当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z经过C时，截距最大z_max=2+a，
此时由z_max+z_min=2+a+1+a=0得a=-$\frac{3}{2}$，不满足条件-1＜a＜0．此时不成立．
③若k=-$\frac{1}{a}$∈（0，1），即a＜-1时，当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z经过A时，截距最小z_min=1+a，
当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z经过B时，截距最大z_max=1，
此时由z_max+z_min=1+1+a=0得a=-2，满足条件a＜-2．此时成立．
综上a=-2．
故选：B

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．注意要对a进行分类讨论．