Question

17．定义在正整数集上的函数f（x）对任意m，n∈N^*，都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2，且f（1）=1．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若m²-tm-1≤f（x）对于任意的m∈[-1，1]，x∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令m=1得到关于f（n）的递推关系，利用累加法即可求f（x）的表达式；
（2）利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2，且f（1）=1，
∴令m=1，
则f（n+1）=f（1）+f（n）+4（1+n）-2=f（n）+4n+3，
即f（n+1）-f（n）=4n+3，
则f（2）-f（1）=7
f（3）-f（2）=11，
…
f（n）-f（n-1）=4（n-1）+3=4n-1，
等式两边同时相加得f（n）-f（1）=7+11+…+（4n-1）=$\frac{（7+4n-1）（n-1）}{2}$=2n²+n-3，
则f（n）=2n²+n-3+f（1）=2n²+n-2．
即f（x）=2x²+x-2．x∈N^*．
（2）∵f（x）=2x²+x-2的对称轴为x=-$\frac{1}{4}$，
∴当x∈N^*时，函数f（x）的最小值为f（1）=2+1-2=1，
若m²-tm-1≤f（x）对于任意的m∈[-1，1]，x∈N^*恒成立，
则等价为m²-tm-1≤1对于任意的m∈[-1，1]，x∈N^*恒成立，
即m²-tm-2≤0对于任意的m∈[-1，1]，x∈N^*恒成立，
当m=0时，-2≤0，恒成立，
当m＜0时，原式等价于t≤$\frac{{m}^{2}-2}{m}=m-\frac{2}{m}$在m∈[-1，0）恒成立，而函数y=m-$\frac{2}{m}$在[-1，0）上为增函数，则此时y=m-$\frac{2}{m}$的最小值为-1+2=1，
∴t≤1；
当m＞0时，原式等价于t≥$\frac{{m}^{2}-2}{m}=m-\frac{2}{m}$在m∈（0，1]恒成立，而函数y=m-$\frac{2}{m}$在（0，1]上为增函数，此时y=m-$\frac{2}{m}$的最大值为1-2=-1，
∴t≥-1
综上可得，-1≤m＜0时，t≤1，
m=0时，t∈R，
0＜m≤1时，t≥-1．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．利用参数分离法结合函数的单调性是求恒成立问题的基本方法．