Question

已知函数f(x)=x+

2a

x

（a为常数）的图象经过点（1，3）．
（1）求实数a的值；
（2）写出函数f（x）在[a，a+1]上的单调区间，并求函数f（x）在[a，a+1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）只需要代入x=1即可得结果．
（2）首先要判断函数的单调区间，然后利用单调性来解答函数治值域的问题，这是求函数值域的重要方法．利用定义求单调区间的时候，要注意x₁，x₂的任意性，本题中求单调区间需要分1≤x₁＜x₂≤

2

和-

2

≤x₁＜x₂≤2进行讨论．

解答：解：（1）由已知f(1)=1+

2a

1

=2a+1=3，得a=1；
    （2）有（1）知a=1，所以函数f(x)=x+

2

x

，
    在[1，2]上可设设1＜x₁＜x₂＜2，则
    f（x₁）-f（x₂）=（x1+

2

x1

）-（x2+

2

x2

）
=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）
=（x₁-x₂）•

x1x2-2

x1x2

    因为0＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
    当1＜x₁＜x₂≤

2

时，x₁•x₂-2＜0，所以

x1x2-2

x1x2

＜0
    所以：f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
    所以f（x）在（1，

2

]上是减函数．
    当

2

≤x₁＜x₂＜2时，x₁•x₂-2＞0，所以

x1x2-2

x1x2

＞0
    所以：f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
    所以f（x）在[

2

，2）上是增函数．
    因此函数f（x）在[a，a+1]即在[1，2]上的单调区间为：
    减区间为[1，

2

]，增区间为[

2

，2]．
    所以函数在[1，2]上的最小值为f（

2

）=2

2

，
    又因为f（1）=3，f（2）=3，所以函数的值域是[2

2

，3]．

点评：本题考查函数的解析式，函数值的求法，函数单调性以及利用函数单调性解答函数值域和最值的知识．