Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-3x-

3

4

．定义函数f（x）与实数m的一种符号运算为m?f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函数值f（x）大于0的x的取值范围；
（2）若g(x)=4?f(x)+

7

2

x2，求g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；
（3）是否存在一个数列{a_n}，使得其前n项和Sn=4?f(n)+

7

2

n2．若存在，求出其通项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数值f（x）大于0的x的取值范围通过解不等式函数f(x)=

1

2

x2-3x-

3

4

＞0求出即可．
（2）根据题设中的定义，将g（x）计算化简并整理，应得出g（x）=2x3-

21

2

x2+9x+3，再利用导数求出g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值
（3）由（2）得Sn=4?f(n)+

7

2

n2=2n3-

21

2

n2+9n+3，转化为利用数列中a_n与 Sn关系求数列通项．

解答：解：（1）由f（x）＞0，得

1

2

x2-3x-

3

4

＞0，…（1分）
即2x²-12x-3＞0，解得x＜3-

42

2

或x＞3+

42

2

．
所以，x的取值范围为 (-∞，3-

42

2

)∪(3+

42

2

，+∞)．…（3分）
（2）g(x)=4?f(x)+

7

2

x2=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•{[

1

2

(x+4)2-3(x+4)-

3

4

]-(

1

2

x2-3x-

3

4

)}+

7

2

x2=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•(

1

2

×8x+

1

2

×16-3×4)+

7

2

x2=(

1

2

x2-3x-

3

4

)•(4x-4)+

7

2

x2=2x3-

21

2

x2+9x+3．…（5分）
对g（x）求导，得g'（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1）．
令g'（x）=0，解得x=

1

2

或x=3．…（6分）
当x变化时，g'（x）、g（x）的变化情况如下表：

x	0	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，3)	3	（3，4）	4
g'（x）		+	0	-	0	+
g（x）	3	↗	41 8	↘	- 21 2	↗	-1

所以，g（x）在区间[0，4]上的最大值为

41

8

，最小值为-

21

2

．…（10分）
（3）存在．
由（2）得Sn=4?f(n)+

7

2

n2=2n3-

21

2

n2+9n+3．…（11分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n3-

21

2

n2+9n+3)-[2(n-1)3-

21

2

(n-1)2+9(n-1)+3]=2(3n2-3n+1)+

21

2

(-2n+1)+9=6n2-27n+

43

2

当n=1时，a1=S1=2×13-

21

2

×12+9×1+3=

7

2

．…（13分）
所以，an=

7 2   (n=1) 6n2-27n+ 43 2   (n≥2)

．…（14分）

点评：本题考查了一元二次不等式解法、利用导数研究最大（小）值．以及利用数列中a_n与 Sn关系求数列通项．考查转化、变形、计算能力．