Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），D（1，0），过椭圆C的焦点F（

2

，0）且垂直于1x轴的直线与椭圆交于A，B两点，

OA

•

OB

=

5

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D的直线与椭圆C交于M，N两点，若

MD

=2

DN

，求直线MN的方程；
（Ⅲ）设直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，若

DP

•

DQ

=0，求k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得A（

2

，

b2

a

），B（

2

，-

b2

a

），由

OA

•

OB

=

5

3

，得

b4

a2

=

1

3

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设MN：x=ty+1，代入

x2

3

+y2=1，得（t²+3）y²+2ty-2=0，由

MD

=2

DN

，能求出直线MN的方程．
（Ⅲ）将y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，得（3k²+1）x²+12kx+9=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得A（

2

，

b2

a

），B（

2

，-

b2

a

），
∴

OA

•

OB

=2-

b4

a2

=

5

3

，得

b4

a2

=

1

3

，
又a²=b²+2，∴a²=3，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）若直线MN的斜率为0，则

MD

≠2

DN

，
若直线MN的斜率不为0，设MN：x=ty+1，
代入

x2

3

+y2=1，得（t²+3）y²+2ty-2=0，
由

MD

=2

DN

，得y₁=-2y₂，
y1+y2=-y2=-

2t

t2+3

，y1y2=-2y22=-

2

t2+3

，
整理，得-2(

2t

t2+3

)2=

-2

t2+3

，解得t=±1，
直线MN的方程：x=±y+1，
即y=x-1或y=-x+1．
（Ⅲ）将y=kx+2代入

x2

3

+y2=1，得（3k²+1）x²+12kx+9=0，（*）
记P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则x3+x4=-

12k

3k2+1

，①，x3x4=

9

3k2+1

，②，

PD

•

QD

=（x₃-1，y₃）•（x₄-1，y₄）=（x₃-1）（x₄-1）+y₃y₄=0，
又y₃=kx₃+2，y₄=kx₄+2，
∴（k²+1）x₃x₄+（2k-1）（x₃+x₄）+5=0，③
将①②代入③，得：
k=-

7

6

，此时（*）中，△＞0．
∴k=-

7

6

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．