Question

【题目】已知椭圆的短轴两端点与左焦点围成的三角形面积为3，短轴两端点与长轴一端点围成的三角形面积为2，设椭圆的左、右顶点分别为是椭圆上除两点外一动点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的左焦点作平行于直线（是坐标原点）的直线，与曲线交于两点，点关于原点的对称点为，求证：成等比数列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据题意和椭圆中的关系，列出方程组，解这个方程组即可；

（2）依题意，要证成等比数列，只需证，即．设出直线的方程、直线的方程，分别与椭圆方程联立，结合根与系数关系，求出相应线段的长度进行证明即可.

（1）解：依题意，得解得故椭圆的方程为．

（2）证明：依题意，要证成等比数列，

只需证，即．设直线，直线，

联立得，，故．

联立得．

设，则

，

∴，所以成等比数列．