Question

【题目】已知函数，.

（1）若对时，不等式恒成立，求实数a的取值范围（e为自然对数的底数）；

（2）当时，求函数的极大值；

（3）求证：当时，曲线与直线有且仅有一个公共点.

Answer 1

【答案】（1）（2）0（3）见解析

【解析】

（1）因为，，所以不等式，构造函数，即在上单调递增，所以在恒成立，参变分离即可求出参数的取值范围；

（2）当时，，求出函数的导数即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值；

（3）令，利用导数证明函数的零点个数，即可得证.

解：（1）因为，，

所以不等式恒成立等价于.

令，因为时，不等式恒成立，

所以函数在上单调递增，

所以在恒成立，

即在恒成立，而，

所以，即，

所以实数a的取值范围为.

（2）当时，，

则（），

令，恒成立，

所以函数在上单调递减，

又因为，

所以在上，在上，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的极大值为.

（3）令，

则

因为，，

所以恒成立，

所以函数在上单调递增，

而，，

因为，，，

所以，

因为函数在上有且仅有一个零点，

所以当时，曲线与直线有且只有一个公共点.