【题目】已知函数,
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数在区间
上有1个零点,求实数
的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得
在
上恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2) ;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)当时,得到
,求得
,利用
和
,即可求解函数的单调区间;
(2)由,分
和
两种情况分类讨论,得到函数的单调性与极值,结合函数的图象,即可求解实数
的取值范围;
(3)假设存在正整数,使得
在
上恒成立,分类参数得出
对
恒成立,设函数
,求得
,求得函数
单调性与极值,即可求解实数
的最大值.
试题解析:
(1)当时,
,
.
令,解得
,令
,解得
,
∴的单调增区间为
,单调减区间为
.
(2),
当时,由
,知
,
所以, 在
上是单调增函数,且图象不间断,
又,∴当
时,
,
∴函数在区间
上没有零点,不合题意.
当时,由
,解得
,
若,则
,故
在
上是单调减函数,
若,则
,故
在
上是单调增函数,
∴当时,
,
又∵,
在
上的图象不间断,
∴函数在区间
上有1个零点,符合题意.
综上所述, 的取值范围为
.
(3)假设存在正整数,使得
在
上恒成立,
则由知
,从而
对
恒成立(*)
记,得
,
设,
,
∴在
是单调增函数,
又在
上图象是不间断的,
∴存在唯一的实数,使得
,
∴当时,
在
上递减,
当时,
在
上递增,
∴当时,
有极小值,即为最小值,
,
又,∴
,∴
,
由(*)知, ,又
,
,∴
的最大值为3,
即存在最大的正整数,使得
在
上恒成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.
规定:每辆自行车的日租金不超过20元,每辆自行车的日租金x元只取整数,并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用y表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得).
(1)求函数y=f(x)的解析式及定义域;
(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】AC为对称轴的抛物线的一部分,点B到边AC的距离为2km,另外两边AC,BC的长度分别为8km,2 km.现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区.
(1)求此曲边三角形地块的面积;
(2)求科技园区面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《城市规划管理意见》里面提出“新建住宅要推广街区制,原则上不再建设封闭住宅小区,已建成的封闭小区和单位大院要逐步打开”,这个消息在网上一石激起千层浪,各种说法不一而足.某网站为了解居民对“开放小区”认同与否,从岁的人群中随机抽取了
人进行问卷调查,并且做出了各个年龄段的频率分布直方图(部分)如图所示,同时对
人对这“开放小区”认同情况进行统计得到下表:
(Ⅰ)完成所给的频率分布直方图,并求的值;
(Ⅱ)如果从两个年龄段中的“认同”人群中,按分层抽样的方法抽取6人参与座谈会,然后从这6人中随机抽取2人作进一步调查,求这2人的年龄都在
内的概率 .
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