【题目】AC为对称轴的抛物线的一部分,点B到边AC的距离为2km,另外两边AC,BC的长度分别为8km,2 km.现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区.
(1)求此曲边三角形地块的面积;
(2)求科技园区面积的最大值.
【答案】
(1)解:以AC所在的直线为y轴,A为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,如图所示;
则A(0,0),C(0,8),
设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2(a>0),
则点B(2,4a),
又|BC|= =2
,
解得a=1或a=3(此时4a=12>8,不合题意,舍去);
∴抛物线方程为y=x2,x∈[0,2];
又 x2=
x3
=
,
∴此曲边三角形ABC地块的面积为
S梯形ACBM﹣ x2=
×(8+4)×2﹣
=
;
(2)解:设点D(x,x2),则F(0,x2),
直线BC的方程为:2x+y﹣8=0,
∴E(x,8﹣2x),
|DF|=x,|DE|=8﹣2x﹣x2,|CF|=8﹣x2,
直角梯形CEDF的面积为
S(x)= x[(8﹣2x﹣x2)+(8﹣x2)]=﹣x3﹣x2+8x,x∈(0,2),
求导得S′(x)=﹣3x2﹣2x+8,
令S′(x)=0,解得x= 或x=﹣2(不合题意,舍去);
当x∈(0, )时,S(x)单调递增,
x∈( ,2)时,S(x)单调递减,
∴x= 时,S(x)取得最大值是
S( )=﹣
﹣
+8×
=
;
∴科技园区面积S的最大值为 .
【解析】(1)以AC所在的直线为y轴,A为坐标原点建立平面直角坐标系,求出曲边AB所在的抛物线方程,利用积分计算曲边三角形ABC地块的面积;(2)设出点D为(x,x2),表示出|DF|、|DE|与|CF|的长,求出直角梯形CEDF的面积表达式,利用导数求出它的最大值即可.
【考点精析】利用扇形面积公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知若扇形的圆心角为,半径为
,弧长为
,周长为
,面积为
,则
,
,
.
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【题目】公差不为零的等差数列{an}中,a1 , a2 , a5成等比数列,且该数列的前10项和为100,数列{bn}的前n项和为Sn , 且满足Sn= ,n∈N* .
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记得数列{ }的前n项和为Tn , 求Tn的取值范围.
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【题目】某城市实施了机动车尾号限行,该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 6 | 9 | 6 | 3 | 4 |
(Ⅰ)请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值;
(Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅲ)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷,记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数,求使概率
取得最大值的整数
.
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【题目】已知函数,
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数在区间
上有1个零点,求实数
的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得
在
上恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E是PC的中点.
(Ⅰ)求证:PA∥平面BDE;
(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE;
(Ⅲ)若二面角E-BD-C为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
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【题目】过双曲线 =1(a>0,b>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为l时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1, )
B.(1, )
C.( ,
)
D.( ,
)
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【题目】已知函数f(x)=exsinx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)如果对于任意的 ,f(x)≥kx恒成立,求实数k的取值范围;
(3)设函数F(x)=f(x)+excosx, ,过点
作函数F(x)的图象的所有切线,令各切点的横坐标按从小到大构成数列{xn},求数列{xn}的所有项之和的值.
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【题目】美国对中国芯片的技术封锁,这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的,
两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金
千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产
芯片的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入
千万元,公司获得毛收入
千万元;生产
芯片的毛收入
(千万元)与投入的资金
(千万元)的函数关系为
,其图像如图所示.
(1)试分别求出生产,
两种芯片的毛收入
(千万元)与投入资金
(千万元)的函数关系式;
(2)如果公司只生产一种芯片,生产哪种芯片毛收入更大?
(3)现在公司准备投入亿元资金同时生产
,
两种芯片,设投入
千万元生产
芯片,用
表示公司所过利润,当
为多少时,可以获得最大利润?并求最大利润.(利润
芯片毛收入
芯片毛收入
研发耗费资金)
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