Question

【题目】公差不为零的等差数列{an}中，a1 ， a2 ， a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列{bn}的前n项和为Sn ， 且满足Sn= ，n∈N* ．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记得数列{ }的前n项和为Tn ， 求Tn的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1，a2，a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，

∴ =a1a5，即 =a1（a1+4d），10a1+ d=100，联立解得a1=1，d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

又满足Sn= ，n∈N*，∴Sn=2bn﹣1，当n=1时，b1=2b1﹣1，解得b1=1．

当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣1﹣（2bn﹣1﹣1），化为：bn=2bn﹣1，

∴数列{bn}是等比数列，首项为1，公比为2．

∴bn=2n﹣1．

（2）解： = = ．

∴前n项和为Tn= + +…+ ，

= +…+ + ，

∴ = +…+ ﹣ = ﹣ =1﹣ ，

∴Tn=2﹣ ．

n≥2时，Tn﹣Tn﹣1= ＞0．

∴数列{Tn}单调递增，

∴ Tn＜2．

【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由于a1 ， a2 ， a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，可得 =a1a5 ， 即 =a1（a1+4d），10a1+ d=100，联立解得a1 ， d，即可得出an ． 又满足Sn= ，n∈N* ， 可得Sn=2bn﹣1，利用递推关系可得：bn ． （2） = ．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，数列的单调性即可得出．
【考点精析】通过灵活运用等差数列的通项公式（及其变式）和等比数列的通项公式（及其变式），掌握通项公式：或；通项公式：即可以解答此题．