(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点.
①问:△ABC能否为正三角形?若能,求出点C的坐标;若不能,请说明理由.
②当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.
解:设M(x,y),依题意有|MP|=|MN|,
所以|x+1|=.
化简得y2=4x.
(2)①由题意得,
直线AB的方程为y=-(x-1).
由消去y,得3x2-10x+3=0.
解得 x1=,x2=3.
所以A点坐标为(,),B点坐标为(3,-2),|AB|=x1+x2+2=.
假设存在点C(-1,y),使△ABC为正三角形,
则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,
即
由1°-2°整理得42+(y+2)2=()2+(y-)2.
解得y=-.但y=-不符合1°.
所以由1°、2°组成的方程组无解.
因此,直线l上不存在点C,使得△ABC是正三角形.
(2)以AB为直径的圆的方程为(x-)2+(y+)2=()2.
圆心(,-)到直线l:x=-1的距离为,
所以以AB为直径的圆与直线l相切于点G(-1,-).
当直线l上的C点与G重合时,∠ACB为直角,当C与G点不重合,且A、B、C三点不共线时,∠ACB为锐角,即△ABC中,∠ACB不可能是钝角.
因此,要使△ABC为钝角三角形,只可能是∠CAB和∠CBA为钝角.
过点A且与AB垂直的直线方程为
y-=(x-).
令x=-1,得y=.
过点B且与AB垂直的直线方程为y+2=(x-3).
令x=-1,得y=-.
又由
解得y=2.
所以当点C的坐标为(-1,2)时,A、B、C三点共线,不构成三角形.
因此,当△ABC为钝角三角形时,
点C的纵坐标y的取值范围是y<-或y>(y≠2).
科目:高中数学 来源: 题型:044
(2007
江苏淮阴)已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.(1)
求动圆圆心的轨迹M的方程.(2)
设过点P,且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点.①问:△
ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由.②当△
ABC为钝角三角形时,求这时点C的纵坐标的取值范围.查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:天骄之路中学系列 读想用 高二数学(上) 题型:044
已知动圆过定点P(1,0)且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.
(1)求动圆圆心轨迹M的方程;
(2)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点,
①问:△ABC能否为正三角形,若能,求点C的坐标,若不能,说明理由.
②当△ABC为钝角三角形时,求点C的纵坐标的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2013届广东省高二第一学期期末考试文科数学 题型:解答题
(本题满分14分)
已知动圆过定点P(1,0)且与定直线相切,点C在上.
(Ⅰ)求动圆圆心M的轨迹方程;
(Ⅱ)设过点P且斜率为的直线与曲线交于A、B两点.问直线上是否存在点C ,使得是以为直角的直角三角形?如果存在,求出点C的坐标;若不能,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点.
①△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,请说明理由.
②当△ABC为钝角三角形,求这时点C的纵坐标的取值范围.
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