Question

20．设f（x）=${C}_{20}^{10-x}$，g（x）=${P}_{20}^{x}$，集合A={x||x|≤10，x∈Z}，B={x|1≤x≤20，x∈N^*}．
（1）若f（x）的定义域为A，判断f（x）的奇偶性
（2）解方程f（6-x）=f（2x-15）
（3）若g（x）的定义域为B，求证：当1≤x≤19时，g（x）是增函数．

Answer 1

分析 （1）由组合数公式可得f（x）=C${\;}_{20}^{10-x}$=$\frac{20！}{（10-x）!×（10+x）!}$，进而可得f（-x），分析f（x）与f（-x）的关系即可得答案；
（2）利用组合数的性质，即可解方程；
（3）利用作商法，即可证明．

解答 （1）解：∵f（x）=C${\;}_{20}^{10-x}$=$\frac{20！}{（10-x）!×（10+x）!}$，
则f（-x）=$\frac{20！}{（10+x）!（10-x）!}$，
∴f（-x）=f（x），且f（x）的定义域A关于原点对称，
∴f（x）是偶函数；
（2）解：∵f（6-x）=f（2x-15）
∴${C}_{20}^{4+x}$=${C}_{20}^{25-2x}$，
∴4+x=25-2x，
∴x=3；
（3）证明：∵1≤x≤20，x∈N^*．
∴$\frac{g（x+1）}{g（x）}$=$\frac{{P}_{20}^{x+1}}{{P}_{20}^{x}}$=$\frac{（20-x）！}{（19-x）!}$=20-x，
当1≤x≤19时，20-x≥1
∵g（x）＞0，
∴g（x+1）＞g（x），
∴g（x）是增函数．

点评 本题考查函数奇偶性的判断以及组合数公式，关键是根据组合数公式求出f（x）的解析式．考查学生的运算和推理能力．