Question

8．已知函数f（x）=ax²-2x+2．
（1）若f（x）的单调区间为（-∞，4），求a的取值范围；
（2）若f（x）在区间（-∞，4）上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）的单调区间为（-∞，4），则函数图象是以直线x=4为对称轴的抛物线，进而得到a值；
（2）若f（x）在区间（-∞，4）上为减函数，分a=0和a≠0两种情况，结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax²-2x+2，
若f（x）的单调区间为（-∞，4），
则函数图象是以直线x=4为对称轴的抛物线，
即$\frac{1}{a}$=4，
解得：a=$\frac{1}{4}$
（2）∵若a=0，则函数f（x）=-2x+2在区间（-∞，4）上为减函数，满足条件；
若a≠0，由二次函数f（x）在区间（-∞，4）上为减函数，
∴a＞0，且$\frac{1}{a}$≥4解得：a∈（0，$\frac{1}{4}$]
综上所述，满足条件的a的取值范围为[0，$\frac{1}{4}$]

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．